命題１８
量がそれぞれ分けてとられて比例しているならば、それらは共にとられてもまた比例している。
AE、EB、CF、FDを分けて取られて比例する量とする。つまりAEはEBに対し同じようにCFはFDに対する。definitionⅤ．１５
それらはまた共に取られても比例することをいう。つまりABはBEに対し同じようにCDはFDに対する。definitionⅤ．１４
CDがDFに対し同じようにABがBEに対するのではないのならば、ABはBEに対し同じようにCDはDFより少ないかまたは大きいある量のどちらかに対する。
最初に、それを小さい量DGに対する比とする。
それから、ABはBEに対し同じようにCDはDGに対するから、それらは共に取られて比例する量である。つまりそれらはまた分けて取られても比例する。それゆえにAEはEBに対し同じようにCGはGDに対する。propositionⅤ．１７
しかしまた、仮定により、AEはEBに対し同じようにCFはFDに対する。それゆえにCGはGDに対し同じようにDFはFDに対する。propositionⅤ．１１
しかし第1のCGは第3のCFより大きく、それゆえに第2のGDもまた第4のFDより大きい。propositionⅤ．１４
しかし、不可能であるが、それはまた少ない。それゆえにABはBEに対し同じようにCDはFDより少ない量に対さない。
同じようにその比において大きい量に対することを証明することができる。それはそれゆえにその比においてFDそれ自身に対する。
それゆえに、量がそれぞれ分けてとられて比例しているならば、それらは共にとられてもまた比例している。
証明終了